Giám mục Giuse Nguyễn Đức Cường sinh ngày 14 tháng 10 năm 1953 tại xã Quảng Trường, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa,[7] thuộc giáo họ Phúc Thái, giáo xứ Phúc Lãng, giáo hạt Chính Tòa, Giáo phận Thanh Hóa.[8] Cha ông vốn là một thợ mộc, gia đình vốn khó khăn.[9] Ông là người con thứ hai trong gia đình ông gồm 10 anh chị em gồm 5 nam và 5 nữ.[5] Trong số các chị em của ông có hai người đi theo con đường tu trì là Nữ tu Theresa Nguyễn Thị Hường thuộc Tu đoàn Bác Ái Xã Hội và Nữ tu Anna Nguyễn Thị Thanh Thu thuộc Dòng Mến Thánh Giá Đà Lạt. Gia đình ông hiện cư ngụ tại Giáo xứ Thanh Xá, giáo phận Đà Lạt.[10]

Con đường tu học của ông bắt đầu bằng việc gia nhập Tiểu chủng viện Simon Hòa Ðà Lạt năm 1969 cùng với 48 chủng sinh khác và học tại đây, nhờ sự hỗ trợ một nửa kinh phí từ phía linh mục chính xứ giáo xứ quê hương và một nửa đóng góp của gia đình, vừa đủ tiền nhập học.[9] Sau đó, ông tiếp tục theo học tại Đại Chủng viện Minh Hòa Ðà Lạt và Đại học Công giáo Đà Lạt từ năm 1972 đến năm 1975. Sau đó, ông thực tập mục vụ tại giáo xứ Thánh Tâm (còn gọi là Lộc Phát) cho đến khi tiếp tục con đường tu trì bằng việc tu học tại Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn từ năm 1986.[11]